Seminários de Sistemas Dinâmicos

13 de Dezembro, 16h00

Continuidade absoluta e rigidez
ANFITEATRO

Marcelo Viana (IMPA-Rio de Janeiro)

Abstract:

Em geral as folheações invariantes de sistemas dinâmicos hiperbólicos não são diferenciveis. No entanto, Anosov e Sinai provaram que elas são absolutamente contínuas, isto é, as suas holonomias preservam a classe dos conjuntos com medida zero, desde que o sistema seja pelo menos $C2$. A continuidade absoluta estende-se às folheações fortes (estável e instável) de sistemas parcialmente hiperbólicos. Mas as folheações centrais têm um comportamento muito mais subtil. Em geral, folheações centrais podem não existir e, quando existem, não são necessariamente únicas. Além disso, Shub, Wilkinson observaram numa situação específica, em que há existência e unicidade, que tipicamente a folheação central não é absolutamente contínua. Trabalho posterior de Ruelle e Wilkinson refinou esta observação: tipicamente a desintegração do volume ao longo das folhas centrais é atómica.
Em trabalho conjunto com Artur Avila e Amie Wilkinson provamos dois tipos principais de resultados: - Rigidez: se a folheação central é absolutamente contínua então ela é diferenciável e o sistema é diferenciavelmente conjugado a um modelo concreto. - Dicotomia: (assumindo uma propriedade genérica chamada acessibilidade): ou a folheação central é absolutamente contínua ou a desintegração de volume ao longo das folhas atmica.
Estes resultados aplicam-se:
1) à situação tratada por Shub e Wilkinson (perturbações de produtos Anosov x identidade)
2) a perturbações do tempo 1 de um fluxo de Anosov

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